关于“人追不上乌龟”的悖论，其核心在于对无限过程的时间累积和空间距离的误解。这一悖论最早由古希腊哲学家芝诺提出，现通过数学和物理学的视角进行解释：

一、悖论的核心矛盾

无限分割时间

人每跑10米，乌龟前进1米，看似人永远无法弥补初始10米的差距。若将这一过程无限细分，人永远无法到达乌龟的新位置。

空间距离的永恒性

每次人到达乌龟的起始位置时，乌龟又向前移动了一段距离，导致两者之间的“距离”似乎永远无法消除。

二、数学解释：无穷级数的收敛性

时间序列分析

假设人速为10v，乌龟速为v，初始距离为d。人追上乌龟所需时间t可通过以下公式计算：

$$t = \frac{d}{10v - v} = \frac{d}{9v}$$

例如，d=100米时，t=10/9秒。

无限次追赶过程

人每次到达乌龟的新位置时，乌龟又前进了v/9的距离。这一过程可以表示为无穷级数：

$$t_{\text{总}} = \frac{d}{9v} \left(1 + \frac{1}{10} + \frac{1}{100} + \cdots \right)$$

该级数是一个等比数列，公比q=1/10，根据等比数列求和公式，其和为：

$$S = \frac{a}{1 - q} = \frac{1}{1 - 1/10} = \frac{10}{9}$$

因此，总时间tₜ₊₁₎收敛于有限值10/9秒。

三、物理学的解释：连续运动

时间连续性

现代物理学认为，时间是不可无限细分的。即使理论上存在无穷多个追赶阶段，实际时间仍为有限值。

相对运动原理

根据相对论，高速运动下的时间膨胀效应会进一步说明，人追上乌龟的时间不会无限延长。

四、结论

芝诺悖论通过逻辑推理揭示了人类对无限过程的直观误区。数学分析表明，尽管追赶过程包含无限步骤，但总时间收敛于有限值，因此在现实中人必然能追上乌龟。这一悖论也启发了微积分和极限理论的发展，成为哲学与科学史上的经典案例。