根据《娘亲舅大》剧情信息，佟家庚的死亡原因可总结如下：

病因与病情发展

佟家庚因身患重病，时日无多。剧中明确提到他向家阳交代后事，表明病情已进入晚期。

手术与转机

在佟家庚生命垂危之际，姚卫东赶到并指导手术。手术最终成功，佟家庚暂时脱离生命危险。

后续结局

手术后，佟家庚的生死未卜，但剧中并未明确交代其具体离世原因。结合剧情逻辑，可推测他可能因病情恶化或术后并发症去世，但未在剧中直接呈现。

总结：

佟家庚因重病接受手术后死亡，但具体死因未在剧中明确说明。